4.1 Teoría preliminar 
4.1.1 Sistemas de ecuaciones diferenciales.
Problema de valores iniciales
En la sección 1.2 definimos qué es un problemade valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para unaecuación diferencial lineal,
un problema de valores iniciales de orden "n" es

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida enalgún intervalo y que contenga a X0, y satisfaga la ecuación diferencial y las ncondiciones iniciales especificadas en x0:
y(xo)=yo,y’(xo)=yl,. . .,y(*-‘)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema devalores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto(~0, yo) y tener la pendiente y1 en ese punto.

Existencia y unicidad
En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especificalas condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de unproblema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe lascondiciones suficientes de existencia de solución única para el problemarepresentado por las ecuaciones.

Teorema 4.1 Existencia de una solución única

Sea a n(X), an-1(X), …. A1(x),z0(x) y g(x) continua en un interval I, y sea a n (x) =0 paratoda x del intervalo. Si x=x0es cualquier punto en el intervalo, existe una soluciónen dicho intervalo y(x) del problema de valores representado por la ecuacionesque es única


Ejemplo:
Solución única de un problema de valores iniciales
El problema de valores iniciales
3y’” + 5y” - y’ + 7y = 0,                      y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(Il) = 0


Tiene la solución trivial y = 0. Como la ecuación de tercer orden es lineal concoeficientes constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema 4.1; enconsecuencia, y = 0 es la única solución en cualquier intervalo que contenga x = 1.


Problema de valor en la frontera
Otro tipo de problema es resolver una ecuacióndiferencial lineal de segundo orden mayor en la que la variable dependiente y, osus derivadas, estén especificadas en
 puntos distintos.

Un problema como
Resolver: 4~) $$ + UI(~) 2 +ao(x)Y = &)
Sujeta u: y(u) = yo, y(b) = y1

Se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = yo yy(b) = ~1, se denominan
condiciones en la frontera. Una solución del problemaanterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo Zque contiene a u y b, cuya gráfica pasa por los dos puntos (u, yo) y (b, yr).


Soluciones de la ecuación diferencial



Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser 

En donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera:

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos.

Una ecuación lineal de orden n de la forma

Se llama homogénea, mientras que una ecuaciónDonde g(x) no es idénticamente cero, se llama
no homogénea;
por ejemplo, 2y” +3y’ - 5y = 0 es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea,mientras que x
3
y’’’ + 6y’ + 1 0y = e
x
es una ecuación diferencial de tercer orden,lineal y no homogénea. En este contexto, la palabra
homogénea
no indica que loscoeficientes sean funciones homogéneas.Para resolver una ecuación lineal no homogénea como la segunda forma, enprimera instancia debemos poder resolver la ecuación homogénea asociada a laprimera forma


bibliografia :Gustavo Alonso Torres Pérez
aqui podras encontrar mas sobre teoria preliminar:

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r76056.PDF